懸鏈線：如果物體每單位長度的質量均勻且僅受重力作用，則任何可自由懸掛的電纜或細繩所呈顯的形狀。

　　懸鏈線：如果物體每單位長度的質量均勻且僅受重力作用，則任何可自由懸掛的電纜或細繩所呈顯的形狀。

　　17世紀初，天文學家約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）將橢圓形應用于行星軌道的描述，而意大利科學家伽利略（Galileo）使用拋物線來描述沒有空氣阻力時的彈丸運動。受到圓錐形截面在這些環境中的巨大成功的啟發，伽利略錯誤地認為吊鏈會呈拋物線形。到了17世紀后期，荷蘭數學家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）指出，鏈曲線不能由代數方程給出（一個方程僅涉及算術運算以及冪和根）。他也創造了懸鏈線一詞。除惠更斯外，瑞士數學家雅各布·伯努利和德國數學家戈特弗里德·萊布尼茲還為懸鏈線方程的完整描述做出了貢獻。

　　十九世紀，伽利略懷疑懸掛的鏈條實際上是拋物線。然而，在艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨發展了微分和積分學的框架之后，僅僅半個世紀之后，一個嚴格的數學證明就誕生了。

　　下面我們推導了懸鏈線的方程

　　假設在點A和點B處懸掛著一根比較重的均勻鏈，而點A和點B可能處于不同的高度

　　我們考慮鏈條中的一個小元素ΔS, 且分布在鏈條截面上的力是重力

　　ΔP=ρgAΔs,

　　ρ 是鏈材料的密度，G 是重力的加速度, A為橫截面積，拉力T(x) 和 T(x+Δx),分別對應點x和x+Δx

　　平衡條件： Δs 投影到 OX和 OY,可寫成

　　由第一個方程可知，拉力的水平分量T(x) 總是一個常數

　　利用微分第二個方程，我們可以把它寫成：由此得到

　　考慮到tanα(x）=y′，所以平衡方程的微分形式是

　　鏈元的長度Δs 可以用公式表示出來

　　由此得到懸鏈線的微分方程:

　　這個方程的階可以簡化。通過表示y′=z,我們可以把它表示成一階方程

　　上述方程可以通過分離變量來求解，在這里我們表示

　　懸鏈線最低點的切線平行于x軸。因此,

　　我們由此可以確定常數C1:

　　因此，我們得到:

　　方程兩邊同時乘以共軛表達式，則得到

　　加上前面的方程，我們得到了 z=y′的表達式

　　我們再一次積分就給出了懸鏈線形狀的漂亮表達:

　　因此，懸鏈線被描述為雙曲余弦函數。它的形狀由唯一的參數a=T0/ρgA確定

　　例如，帆在風的壓力下形成懸鏈線(伯努利曾考慮過這個問題)

　　懸鏈線還有另一個有趣的特點。當圍繞x軸旋轉時，懸鏈線給出稱為連環的懸鏈面。懸鏈面是微分幾何中很重要的一種曲面，該曲面具有最小的表面積，即鏈狀曲面的任何部分都小于由相同輪廓限定的其他任何曲面。

　　標簽：涂裝懸掛鏈條